1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数为( )(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3(2)设函数，其中为正整数，则( )(a) (b) (c) (d)(3)设函数连续，则二次积分( )(a) (b)(c) (d)(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则( )(a) (b) (c) (d)(5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(a) (b) (c) (d)(6) 设a为3阶矩阵，p为3阶可逆
2、矩阵，且.若p=（），则( )(a) (b) (c) (d)(7)设随机变量x与y相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则( )(a) (b) (c) (d)(8)设为来自总体（0）的简单随机样本，则统计量的分布为( )(a)n（0,1） (b)t(1) (c) (d)f(1,1) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) (10)设函数， ，则 (11)设连续函数满足则 (12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设为3阶矩阵，为的伴随矩阵。若交换的第1行与第2行得矩阵,则 (14)设a、b、c是随机事件，a与c互不相
3、容，,则 三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)求极限(16)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为（件）和（件），且定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）.(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数（万元）；(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(18)证明(19)已知函
4、数满足方程及.(1)求的表达式；(2)求曲线的拐点.(20)设，(1)计算行列式；(2)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(21)已知，二次型的秩为2.(1)求实数的值；(2)求正交变换将化为标准形.(22)设二维离散型随机变量、的概率分布为yx0120010020()求；()求.（23）设随机变量x与y相互独立，且服从参数为1的指数分布. 记，.（）求的概率密度；（）求.数三参考答案一、选择题12345678ccbdcbdb二、填空题9、； 10、4； 11、； 12、； 13、； 14、1、【解析】2、【解析】3、【解析】4、【解析】5、【解析】6、【解析】7、【解析】8、【解
5、析】9、【解析】10、【解析】11、【解析】12、【解析】13、【解析】14、【解析】三、解答题1
5、解:16、解:17、解:（i），对x积分得:再对y求导有，再对y积分有，所以，又，所以所以（ii）x+y=50，把y=50-x代入令，得x=24，y=50-24=26，这时总成本最小c（24,26）=11118万元（iii）（万元/件）经济意义:总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。18、证明:令， 所以即证得:19、解:（i）对应的特征方程为，r=-2，r=1所以把代入，得到（ii）同理，当x0时，可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。20、解:(i）(ii)对方程组的增广矩阵初等行变换:可知，要使方程组有无穷多解，则有且，可知此时，方程组的增广矩阵变为，进一步化为最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为21、解:(1)由二次型的秩为2，知，故对矩阵a初等变换得因，所以(2)令所以b的特征值为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为将单位化可得正交矩阵，则因此，作正交变换，二次型的标准形为22、解:x012p1/21/31/6y012p1/31/31/3xy0124p7/121/301/12（）（），其中，所以，23、解: