作者：核聚北京大学流膂力学博士
一、我的数学学习进程及遇到的困难
1、我的数学学习进程
我自个的数学学习进程比照曲折，在大一的时分挂过数学分析。我自己是学力学的，所以咱们大一的数学课跟数学系的课程几乎是共同的。
大二的时分还挂过高级代数。
两次考研，初度考研没考上，第次考研成功了，我考上了抱负的学校，抱负的专业，选择了抱负的导师，以专业第一名的成果选择，包括专业课的成果也是第一名。
当然，数学学习的进程比照曲折，有许多缘由。一方面是自个快乐喜爱的缘由。在大学的时分，一进图书馆看到许多的学问，马上就对林林总总的学问都发生了很稠密的快乐喜爱，所以精力比照涣散，这是一方面的客观缘由。片面缘由是大学的数学一向没有入门，大学的数学，高级数学，线性代数，数学分析还有概率计算等等这些课，跟大学的数学内容有很大的不一样。我大学的数学成果一向对错常好的，考的学校也对错常好的学校，可是在大学，数学却迟迟没入门。可以这么讲，今日看来，直到我大学二大学，甚至大学三、四大学，我的数学都没怎样入门。
那怎么入门呢？怎么学出数学的快乐喜爱来，怎么可以快速的前进，这个就是今日我要共享主题。
2、数学学习进程中遇到的困难
在数学的学习进程中，究竟会遇到啥样的困难？这些都是我自个阅历过的。
第一是数学内容笼统，看不理解。
第二是常识点太多，记不住。
第三是标题太难，遇到难题不会做。
第四是找不到人谈论，太单调。
因为大学的学习特征，不像大学，我们都学相同的东西，然后依照相同的节奏在走，所以遇到相同的学科，还能谈论一下。可是大学呢，找人谈论都很困难，各忙各的，所以就显得这个学习进程很单调。
第五是战线太长，致使很难坚持。
啥叫战线太长？咱们大学的数学一般会学两年。像我那时分学数学分析要学一年半，三个学期的课程，一旦不入门的话，那就很难坚持学下去，越学越难过。
第六是时刻太短，压力大。
怎么时刻又太短了呢？因为隔两个月就期中考试啊，再隔两个月就期末考试。等到温习的时分，预备考试的时分又觉得压力很大了。
有个兄弟说，“眼睁睁看着教师把一道尽是英文和希腊字母的题，最终解出的答案竟然是阿拉伯数字，直到如今还隐晦。”这些实践上是指高级数学比照笼统。
二、对数学学习的反思
1、令人隐晦的数学名言
在我大一、大二的时分也看了不少这样的类似的名言，感遭到写得非常的美丽，可是几乎领会不到这儿面说的任何一句话的意义。所以其时就觉得很着急，莫非这么好的东西，我跟它无缘吗？
相同，另外一种景象，更让人无法。就是这些所谓的学霸和大神们，我称之为令人绝望的人。比方说我有一个同学，也是我师弟，咱们在谈论数学的时分，常常咱们在黑板上写一道微积标题在黑板上算，他站在远处，看了30秒钟，直接报一个答案。这样的人有时在我身边，有时分咱们在网上看到。当然就觉得不可以理喻，这样的人莫非说天然生成就具稀有学脑筋吗？咱们就不可吗？我就不可吗？等等。在整个大一、大二，甚至大三都在这样的利诱中在啃着数学。
2、数学究竟是啥？
本科时的这样一个阅历，再加之后边的考研，让我从头再反思：
数学究竟是啥？咱们大约如何来学习数学？这个进程中有几件事给我的形象比照深化。
一个是去阅览那些数学的名著，看这些数学家们究竟是怎么看数学，怎么看数学的学习的。
二是参加了咱们学校bbs上面一个科学版的活动，在科学版上跟同学们谈论疑问，而且还有线下的面临面的谈论，一个月有一次这样的活动。这两类活动给我很大的启示，关于啥是学问？学问的本质究竟是啥？
今日看来，那个时分得出的知道是这样的，学问的本质是人与常识，人与人，人与自个的对话，当咱们进入了对话的进程，咱们就入门了。我们看看这段话是不是 理？
三、数学是啥？
要读懂高级数学，咱们必定会问这样一个疑问，数学究竟是啥？以高级数学为例，我们在网上常常会看到这样的所谓常识规划图。
在这副图里边，把高级数学比方成一棵大树，函数是这棵大树的根，咱们大学的数学里边都现已学过了，如反函数、奇偶函数的奇偶性、初等函数、复合函数等等；然后这棵大树的骨干是函数的极限，也就是咱们高级数学的第一章，函数的极限。
在左面，函数的极限生长出一个大的分支，叫做导数与微分。导数与微分首要触及到中值定理，微分中值定理和中值定理的使用。然后它又导向了第二个分支，多元函数的微分学，而函数的极限又引出了另外一个大的分支，叫做不定积分，不定积分一方面，引向定积分与定积分的使用，另一方面又引向了常微分方程。这不是思维导图做的，这就是直接在这棵大树上面加上去的一些，用ppt就可以做出来。
像这样的图像对我们掌控一门常识是有利的，但这样的图像也会构成一个误导。致使咱们把数学只是作为常识来看待。因而发生了数学学习的无量的困难和妨碍。我称之为这就是把数学只是作为常识来看待，它是学习数学的第一个误区。
咱们看看大数学家们是怎么看数学的。比方这本书叫做《啥是数学》，副标题是“对思维和办法的根柢研讨”，它的作者是柯朗。柯朗是20世纪最巨大的数学家之一，美国有一个世界出名的柯朗研讨所。许多大科学家对这本书有高度的赞誉，比方爱因斯坦说，“本书是对整个数学领域中的根柢概念及办法的透彻清楚的论说”；爱因斯坦的好兄弟，韦尔是20世纪巨大的数学物理学家，他称誉，“这是一本非常完满的作品，被数学家们视作科学的鲜血的悉数根柢思路和办法。在《啥是数学》这本书中，用最简略的比方，使之清楚明晰，现已抵达了令人惊奇的程度”。
看到爱因斯坦和韦尔评价这本书的话，咱们都很想去读一读这本书究竟在讲啥，可是假定我们去看这本书，大都人会感到绝望，包括我在本科三、四大学的时分，去看这本书的时分，倍感绝望。因为这本书里边讲的有三章的内容跟咱们的高级数学的内容是相同的，里边有重合的有些，比方这儿面触及到极限，微分和积分。
为啥会绝望呢？是因为这本书里边进的东西，咱们看起来如同很简略，比咱们教科书的内容还要简略一些。那为啥这样一本书会遭到如此高度的赞誉？后来我花了好几年的时刻揣摩，得到这么一个答案。实践上这本书看似内容并不凌乱，可是它却告诉了咱们一件事，那就是数学究竟是啥？它的答案就是：数学的本质是思维技能！
咱们看一看，高级数学的一切有些都贯穿戴相同的思维规划。
这个思维规划是啥？
就是从疑问引入界说，这个界说一般会对应着几许直观；然后界说又引入界说的性质，比方导数的性质，极限的性质等，另外，界说包括着运算，比方导数，从导数的界说直接就可以推出运算规则。然后从界说和运算规则和性质，会推出一系列的定理，这些定理在各个凌乱的数学景象中进行使用，甚至使用于其他的领域，包括物理学，经济学，生物学等等。
我们留心，这儿要害在于一切的数学分支都是这么相同的一个规划，几乎是完全相同的，我们看看这个说法是不是 理，我们回想一下，是不是高数的一切分支都是这样一个相同的规划。
假定咱们把高级数学的本质作为思维技能来看待，咱们当即能答复许多疑问，比方说为啥平常做题不错，而考研成果却欠安，其实最重要的缘由是把数学只是作为常识来学，因为考研的时分，就它不会考相同的标题。题型还会改变，咱们的回想是会不坚决的，假定咱们着眼于这个思维技能，咱们就会发现，技能比常识的回想要平稳得多，技能比常识的回想要快得多，技能一般是一种主动化的东西，而常识需要想半天。
咱们从一个正面的比方来看，有一位师弟，他在考研进程中伤风，前两科就伤风，考到数学的时分还伤风，成果他数学仍是考了143分，考的是数学一，他用的参阅书尽是2013版的，正本是2014年考研，大约用2014年版的参阅书，可是他用的2013版的。为啥他可以做到这一点，实践上数学在他大脑中，变成了这个思维的技能。
可以许多人仍然不了解：数学常识和数学的思维技能究竟有啥不一样？
举一个比方，看过一万遍钢琴谱的人会弹钢琴吗？甚至弹过一万遍1234567的人，能弹好曲子吗？显着不必定啊。所以当咱们去学数学的时分，咱们看许多遍书，不必定有用。看许多遍视频，也不必定有用，即就是练过许多标题，也不必定有用，因为这么做的人多了，考的成果不睬想的。这么做的人，考的成果不睬想的人，举目皆是。
那么啥才是中心？啥才是要害？
最中心的是练习数学的思维。当咱们看书的时分，当咱们看视频的时分，当咱们操练标题的时分，假定咱们重视的是如何练习自个的数学思维，这样才会产收作用。这种练习会练习出一种思维技能，数学的思维技能，而这种技能是贯穿于数学的一切分支，一切有些的。
这种技能甚至还可以搬场到其他领域，假定咱们把数学看作思维技能的话，马上可以了解为啥数学成果很杰出的人，反而不去记许多东西？就像我方才讲的那位师弟，在黑板上出一道积分的标题，咱们来出题，咱们在那谈论，他站在那30秒钟直接报了个答案。他就是这品种型的人，他不会记许多的数学常识，但他却能灵敏解题。为啥？因为他们必要的时分可以推导出来，把公式推导出来，这些常识在他们大脑中是一个有机的回想，甚至是主动化的。
那么数学思维的精华究竟是啥？
这张图像给了我关于这个答案的深化的启示，这张图像是我读研讨生的时分，在一个关于力学的世界研讨会上，有一位专家，第一张幻灯片就播映的是这张图像。这张图像就几个要素，首要最中心必定是坐在椅子上这位专家，周围是书本，各种书本，实验仪器等等，很抑郁。周围两位专家在窃窃私语，下面这句话讲的是：“aftertwendyyearsofresearch.quimzydevelepedtheanswer…nowhe’sforgottenthequestion.”也就是说:quimzy研讨了二十年，找到了答案，却忘掉了疑问!
这三行小字，当我初度读到的时分，对我是一个激烈的震慑。因为我总算找到答案了。它道出了：学问的本质，数学的本质是啥？这个本质就是：问答。他尽管研讨了二十多年，搞了许多的作用，所谓的作用，可是他却堕入了利诱，为啥陷着利诱？因为他不晓得他得出的这些成果，究竟能答复啥疑问。这就像咱们学习高级数学是相同的，咱们在整天做标题，看书，可是咱们看到脑子里边这些东西，究竟能答复啥疑问。越来越迷糊了，那么所以就堕入了利诱，甚至进入了数学学习的利诱。
爱因斯坦在《物理学的进化》开篇就讲，“提出一个疑问，一般比处置一个疑问更为重要，因为处置一个疑问，或许是一个数学上或实验上的技巧，而提出新的疑问，新的可以性，从头的视点看旧疑问，却需要创造性的愿望力，而且标志着科学的真实前进。”
这段话用来描绘咱们数学学习的进程，相同恰当。咱们可以这么说，在数学的学习进程中，提出一个疑问一般比处置一个疑问更为重要，因为处置一个疑问，或许是一个数学上的技巧，而提出新的疑问，新的可以性，从头的视点看旧疑问，却需要创造性的愿望力，而且标志着数学学习的真实前进。
康托，20世纪最巨大的数学家之一，集结论的创始人，他说了这么一句话，“在数学的领域中，提出疑问的艺术，比答复的，答复疑问的艺术更为重要。”
费曼的教师惠勒说过一句话，“没有疑问，没有答百铮这句话道出了任何学问的本质，咱们一切的学问，一切的常识，都是为了答复疑问。可是假定没有疑问的话，假定在咱们的讲义里边，在咱们的学习进程中，没有提出这个疑问，没有提出满足数量的疑问，那么咱们在脑袋里边堆积的那些东西都是学问的细枝末节，甚至是僵死的常识。
费曼的教师这么说，费曼也是相同的，费曼20世纪最有名的物理学家之一。费曼在《别逗了，费曼先生》（实践上是自个列传）这本书里讲了他在巴西时刻一个教育进程，在巴西的教育让他感到很头疼，如图像右边这段话，他说我无法推进他们做到的另一件事，是问疑问。”?恰保舛摹8恰本褪侵改切┭切┐笱！白芩阋桓鲅嫠呶移浼涞脑涤桑俣ㄎ以诳翁蒙衔誓阋晌剩笪颐嵌蓟崤芾此担阄独朔盐颐堑氖笨蹋勖堑囊馔际茄Ф鳎闳创蚨纤仕晌省！狈崖哉飧霰硐蟮奶嘎凼牵罢馐且恢执蜓贡鹑说幕迪吧校导噬衔颐侨疾焕斫猓翘逑殖鲆环芏淖耸疲园驯鹑吮认氯ァ！?br>
四、数学学习的九个境地
数学精深练习有九个台阶。
第一个台阶是能看懂。
第二个台阶是能记住；
第三个台阶是会解题；
啥是能看懂？能看懂，就是可以懂得数学界说，定理，公式的来龙去脉。一看到这个定理、公式，脑子里边回旋扭转的一些疑问，咱们逐个找到答案，咱们要从心里里边去答复，那么找到的答案越多，做出来的问答越多，咱们就懂得的越多，这就是能看懂的意义。
一般是这一步，使得许多人难以入门，一旦咱们做到这一点的话，咱们马上就迈上了第一个台阶，迈上第一个台阶之后，能记住会解题，只需咱们把那些最根柢的东西给做出来，做一遍，亲主着手去算一遍，那么咱们马上就会跨过第二个、第三个台阶。
这样的话，考一个及格的分数就不成疑问了。有不少人把高数的考研方针定为90分，实践上做完方才所说的这些，每一章，每一节都这么去做的话，考90分根柢不成疑问。
第四个台阶是熟练解题；
在解题的进程中不断地进行这样的有知道的思维操作的练习，那么熟练解题也为之不远了。
第五个台阶是会收拾；
啥是会收拾？方才现已给我们共享了数学的根柢规划是啥？每一章都在重复相同的根柢规划，把那些常识点都给汇总到这个常识规划里边，就是会收拾。包括咱们每一章都在用啥样的运算技巧？我们心里边有没稀有，这一章咱们会用到啥，啥样的运算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，这么列出来，一是一、二是二的列出来，假定这么做了，那必定是会收拾了。
第六个台阶是畅通领悟贯穿；
啥是畅通领悟贯穿？比方导数，是从啥疑问引入的？导数的界说，它的严肃的界说是啥？它对应的几许直观是啥？导数怎么推出导数的四则运算规则？导数的界说和运算规则又有啥用？能解啥样的标题？假定咱们一步步这么做下来的话，那就是畅通领悟贯穿了，对这一章，这一节融汇贯穿了。
第七个台阶是掌控数学思维；
啥是掌控数学思维？所谓的数学思维就是一个一个的根柢的思维操作，像加、减、乘、除法，各品种型的加、减、乘、除法，像加一项、减一项，像它的界说，为啥会有这样的界说？它的疑问是啥？这个界说能处置啥疑问？当咱们提这些疑问，去找它的答案的时分，依照这样的思维去练习的时分，咱们就掌控数学思维了。
第8个台阶是领会学习的快乐喜爱；
一旦咱们做到前面这几步的话，那数学的学习天然就有快乐喜爱，想象一下，咱们面临一块黑板或许一张白纸，咱们从导数的界说初步做起，一下就把这一套全都写下来了，不必看参阅书，从导数的界说一向推出这个导数的运算规则，解出一些根柢函数的导数，然后解出更凌乱函数的导数。这儿面能没有快乐喜爱吗？当然有快乐喜爱了。而且咱们答复了心中的一个又一个的疑问，而这些疑问呢，它不但可以前进成果，还可以跟其别人来交流，给其别人带来启示。
第九个台阶是可以投入，忘我的学习。
抵达第8个台阶就很简略抵达第九个台阶了，就是乐此不疲，咱们称之为心流，flow。咱们这姿势学习三个小时的数学，感触时刻才过了半个小时相同。
四、五、六、这个台阶迈上去，那么咱们数学考个优良的成果，考个120分，就不是疑问了，假定咱们抵达了这七、8、九，这三个境地，那么考更高的成果，像我方才那个师弟讲的，考130分，140多分，那就是完全有可以的了，因为你都觉得数学学习都不是担负了，不是妨碍了，不是苦楚而是享受了，解道难题会带来无量的快乐喜爱啊。
五、读不理解数学怎么办？
假定咱们到了如今还觉得数学不太简略懂，高数书看起来很头疼，咱们往下看看个比方。
咱们看一下小平邦彦的故事，小平邦彦是亚洲第一获得菲尔兹奖的数学家，小平邦彦常常说自个天资不好，可是他从大学初步，就是那种干作业一丝不苟，全身心投入的人。他回想自个初度学习范德瓦尔登的《代数学》，几乎学不理解；然后就初步抄书，一向到抄懂中止。关于这样的一个大数学家，他在数学学习的前期，也遇到了无量的困难，看书看不理解。所以咱们常常说，看书看得很费劲，很吃力，这实践上本质上根柢就不是个疑问。那这个故事给你啥启示呢？
有人说“熟能生巧”，没错，我也是这么想的；还有的说“贵在坚持”，也没错，这也是这个故事所传达出的一个重要信息贵在坚持；有的也可所以说“不理解就要抄书”，至少抄书是个办法。还有人说“了解为王”，这也是这个故事讲的一个非常重要的一点，从几乎学不理解，然后最终到懂中止。
就了解很重要，咱们对一个咱们不了解的东西，怎么能心生快乐喜爱呢？学问的快乐喜爱就在于解惑，不断的解惑，这个解惑进程中发生的快乐喜爱，假定咱们一向不理解它，自个都认为不理解，那这个快乐喜爱很难发生啊。
那么往下，跟我们共享一下，我对这个故事的启示
这故事不断在给我新的启示。
首要抄书能抄出数学家吗？假定抄书能抄出数学家的话，那满大街都是数学家了。他必定是带着疑问抄书，边抄边答复，直到懂中止，有了满足多的答复，就天然就懂了。他心里边的利诱都逐个找到了答案，有一些是书上提示的答案，有一些是他根据书上的提示自个独立推导出来的答案，想出来的答案，那么就天然懂。
第二是，咱们学习数学，必定需要厚实的根柢功，这个根柢功是啥？就是方才讲的那个根柢的思维技能，但怅惘的是许多人不曾掌控这个思维技能，甚至都没有知道到，咱们在做数学的进程中，在不断进行相同的思维操作，那个思维操作就是：根柢的问答，不断在做问答，不断地在做加、减、乘、除法，不断地在从
疑问到界说，到界说的性质，到运算规则，到定理，到定理的使用去解标题，不断地在进行这样的或大或小的思维操作，这些思维操作，就是数学思维的根柢的技能，也就是咱们学数学的根柢功。
第三点是，任何技能的学习，任何技能的掌控，必定是先慢后快，咱们想这个，小平邦彦去抄书，假定他一本本地去抄，当但数学的文献汗牛充栋，经典作品多得不得了，他假定都是这么逐渐的抄的话，那得抄到何年何月？正因为他抄的进程中，他不断地去了解和练习自个的思维技能，任何数学分支都有相同的规划，一旦了解这个技能，那就挥洒自若了。
反之，一旦咱们前面的东西没掌控，认为它很简略，认为它很显着，认为它不值得一做，很可以在遇到那个考研标题的时分，咱们都没有解题思路，甚至晓得题思路，咱们做不对，做不出来，
还有这么几个启示。
第一，不要纠结于有没有天资，除非尽力过。即就是小平邦彦，他学数学的前期，仍然遇到很大的困难，咱们在学高数的进程中，遇到困难的时分，看不理解的时分，标题做不出来的时分，常常会自我置疑，是不是我数学真的就不可啊？我没稀有学思维啊？
不是，不是那姿势的。认知神经科学的研讨标明，咱们天然生成下来就稀有学思维。严肃的证明，之后跟我们来共享一下。不要再纠结这个疑问了，除非咱们尽力过。连这样的数学家都做过这样的尽力，那咱们，咱们问问自个，咱们有没有做过这个与之相，恰当的这个尽力。
第二，“假定世界上有奇迹，那只不过是尽力的代名词”，咱们能解一道标题，中等难度的标题，只不过是由那些根柢的常识点，那些根柢的思维操作所导出来的。一道更难的标题也是相同的，咱们解了一道很难的标题，会感到骄傲，感到是个奇迹，那只不过是咱们早年以往点点滴滴的尽力累积出来的，就是像积分相同，一点一点的堆集出来的。
第三，没有必定懂与不理解，要害是我今日有没有懂得更多。我今日懂了多少，我今日究竟懂了啥？我今日找到了哪些疑问的答案，这是要害。包括咱们在做一道标题的时分，我做错了，做错的话，我有啥收成？我做对了，也要问自个究竟收成了多少？一是一，二是二，三是三，咱们有没有这么去做？这样做非常要害。