原标题：考研数学 | 常考题型及重点(4)：常微分方程、行列式
第八章、常微分方程
思考与点拨
微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15％.
本章的考试类型及知识点大致有：
1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y＊的设定：
(1)一阶5种类型求解(2005 (2)题，2006一(2)题，2008二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)；
(2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)；(3)二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999 —(3)题，2007二(13)题，2008一(3)题，2009二(10)题)；
(4)欧拉方程求解(2004一(4)题)；
(5)y＊的设定(数学(二)考过).
2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系：
(1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)；
(2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三)、(四)考过.
3.已知(通)解求微分方程：
(1)未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考过)；
(2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的特解)求该方程(2001 (1)题，2009二(10)题).
4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解：
(1)自由项为绝对值函数的情形(未考过)；
(2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过).
5.经变量变换解微分方程：
(1)经反函数变量变换(2003七题)；
(2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次).
6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：
(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)；
(2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题).
7.微分方程的应用
(1)几何方面(1999五题，1995五题考过，1996六题考过)；
(2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)；
(3)变化率方面(1997三(3)题，2001八题)。
由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视。
线性代数
第一章、行列式
思考与点拨
行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一
般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现。
一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题
1.行列式的计算题.例如：
计算行列式
计算行列式的值
这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决。
多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值。
(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组an×n x=o是否有非零解，an×n x=b是否有唯一解，对a中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化。
︳an×n ︳是否为零，除直接计算出︳a ︳=o(或≠0)，或计算出︳a ︳=k︳a ︳，其中k≠1，︳an×n ︳=0(≠0)?an×n不可逆(可逆)
?r(a)<n< span=””>，不满秩(=n，满秩)
?an×n x=o有非零解(只有零解)
?an×n x=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解)
?an×n 的n个行(列)线性相关(线性无关)
注意这些都是充分必要条件，可以相互判别。
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