第一节矩阵及其运算《线性代数》第二章矩阵及其运算引例1
求解线性方程组引例2.
某厂家向a,b,c三个商场发送四款产品.
2001801901001201001501601401801501502050302516201616
甲乙丙丁单价分量1、界说
由m
n
个数aij(i=1,2,···,m;j=1,叫做一个
m
n
矩阵,
这m
n
个数叫做矩阵的元素,aij
叫做矩阵a的第i
行第
j
列元素.2,···,n)排成的m
行n
列的数表一.界说“矩阵
(matrix)”这个词首要是英国数学家西尔维斯特运用的.他为了将数字的矩形阵列差异于部队式(determinant)而创造了这个述语。jamesjosephsylvester
(1814.9~1897.3)
英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创建者.他首要把矩阵作为一个独立的数学概念,并宣告了一系列关于这个标题的文章.arthur
cayley(1821.8~1895.1)
例1
学生的考试成果甲、乙、丙三位同学的考试成果如下表所示，请用矩阵进行标明。英语高级数学大学物理线性代数甲85856598乙75957095丙80707692二.矩阵的使用举例例2图及其矩阵表述.1423四个城市间的单向航线如下图所示.若令aij
=1，从i
市到j
市有单向航线0，从i
市到j
市没有单向航线则此航线图可用矩阵标明为试用矩阵标明一个“a”形状的刚编制3
刚体的外形描绘飞翔器的三维图像用n个极点的三维坐标描绘例3
刚体的外形描绘例4
线性改换的矩阵n
个变量x1,x2,···,xn
与m
个变量y1,y2,···,ym
之间的联络式标明一个从变量x1,x2,···,xn到变量y1,y2,···,ym
的线性改换，其间aij
为常数.线性改换（2）的系数aij构成矩阵a=(aij)mn.例如，线性改换单位矩阵恒等改换例5
已知向量。请分析经过线性改换后，向量与向量的几许联络。其间线性改换矩阵别离为:
(1)行矩阵和列矩阵
只需一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量).如a=(a11，a12
，···，a1n).如只需一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量).2、几种常用的特别矩阵
(2)零矩阵
若一个矩阵的一切元素都为零，则称这个矩
行数和列数相同的矩阵称为方阵．
(3)方阵
致使混杂的情况下，也可记为ｏ．阵为零矩阵，mn
零矩阵记为ｏmn
，在不会行数和列数都是n就称为n
阶方阵或
n
阶矩阵，假定简记为a=(aij
)n.主对角线都为零的方阵称为对角矩阵，如主对角线上的元素不全为零，其他的元素全
(4)对角矩阵对角矩阵常记为a=diag(a11,a22,···,ann).
(5)单位矩阵
主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单n
阶单位矩阵e
在矩阵代数中占有很重要的方位,它的作用与“1”在初等代数中的作用类似.如ea=ae=a.位矩阵,简记为e
或i.如
(6)三角形矩阵主对角线下(上)方的元素全为零的方阵称为上(下)三角形矩阵.例如产品发到各商场的数量abc甲200180190乙100120100初度产品发到各商场的数量abc甲220215200乙105120110第次产品发到各商场的数量abc甲乙两次累计:4201矩阵的加法三.矩阵的线性运算1).引例产品发到各商场的数量abc甲200180190乙100120100初度产品发到各商场的数量abc甲220215200乙105120110第次产品发到各商场的数量abc甲乙两次累计:4203651矩阵的加法三.矩阵的线性运算1).引例1矩阵的加法三.矩阵的线性运算1).引例产品发到各商场的数量abc甲200180190乙100120100初度产品发到各商场的数量abc甲220215200乙105120110第次产品发到各商场的数量abc甲乙两次累计:4203653901矩阵的加法三.矩阵的线性运算1).引例产品发到各商场的数量abc甲200180190乙100120100初度产品发到各商场的数量abc甲220215200乙105120110第次产品发到各商场的数量abc甲乙两次累计:4203653902051矩阵的加法三.矩阵的线性运算1).引例产品发到各商场的数量abc甲200180190乙100120100初度产品发到各商场的数量abc甲220215200乙105120110第次产品发到各商场的数量abc甲乙两次累计:4203653902052401、矩阵的加法三.矩阵的线性运算1).引例产品发到各商场的数量abc甲200180190乙100120100初度产品发到各商场的数量abc甲220215200乙105120110第次产品发到各商场的数量abc甲乙两次累计:420365390205240210
2).界说
界说
设a=(aij)m×n
与b=(bij)m×n
是两
a-b=a+(-b).阵.显着有a+(-a)=o.由此可界说矩阵的差为若记-
a=(-aij),则称-a
为矩阵a
的负矩阵a与矩阵b的和，记为a＋b．个同型矩阵，称m×n
矩阵c=(aij+bij)m×n
为矩留心:同型阵之间才干进行加法运算3).运算规则
设a,b,c
为同型矩阵,则
(1)
a+b=b+a(加法交流律);(2)(a+b)+c=a+(b+c)(加法联系律);(3)
a+o=o+a=a,(4)
a+(-a)=o.其间o
与
a是同型矩阵;引例若期末考试成果占总成果的90%，而平常成果占10%，请用矩阵运算来表述这三名同学的总成果。英语高级数学大学物理线性代数甲85856598乙75957095丙80707692英语高级数学大学物理线性代数甲90708092乙80908292丙85759090期末成果平常成果2、数与矩阵相乘解:用矩阵a和b别离来标明期末平缓时成果，则有根据题意知，三名同学的总成果可以用c来标明，具体运算如下。1).界说
界说
设a=(aij)m×n,k
是一个数,则为数k
与矩阵a
的数量乘积,简称数乘,记为
ka.称矩阵2、数与矩阵相乘
2).运算规则设a,b
为同型矩阵,k,
l
为常数，则(1)1a=a;(2)
k(la)=(kl)a;(3)
k(a+b)=ka+kb;(4)(k+l)a=ka+la.矩阵相加与数乘矩阵，总称为矩阵的线性运算.例6
设且求矩阵x.引例某厂家向a,b,c三个署理商发送四款产品.a=2050302516201616
b=20018019010012010015016014018015015020210+50100+30150+251801800018000引例某厂家向a,b,c三个署理商发送四款产品.a=2050302516201616
b=20018019010012010015016014018015015020210+50120+30160+2515018000181501815016750引例某厂家向a,b,c三个署理商发送四款产品.a=2050302516201616
b=20018019010012010015016014018015015018000181501675010480102409680设本例中的三个矩阵别离为1、界说
设矩阵a=(aij)m×p,b=(bij)p×n,i
=1,2,···,m;j=1,2,···,n,则称矩阵
c
为矩阵a
与矩阵b
的乘积,记作
留心:
只需当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才干相乘.c=ab.
cij=ai1b1j+ai2b2j
+···+aipbpj
c=(cij)m×n,其间四.矩阵的乘法
例7
求矩阵的乘积ab
及ba.关于矩阵的乘法运算,需要留心以下几点:
(1)矩阵的乘法运算不满足交流律.
(2)两个非零矩阵的乘积可所以零矩阵.
(3)矩阵的乘法不满足消去律,即假定ab=cb,bo,不必定能推出a=c.但ac.
2、运算规则
(1)
ok×mam×p=ok×p,am×pop×n=om×n;(2)设a是m
×
n矩阵,em
是m
阶单位矩(5)
k(ab)=(ka)b=a(kb).(b+c)a=ba+ca;(3)(ab)c=a(bc);(4)
a(b+c)=ab+ac,
ema=a,aen=a;阵,en
是n
阶单位矩阵,则
hill密码疑问将26个英文字母与数字之间树立起逐个对应联络例如可所以:
字母abc…xyz空格数字123…2425260传输一串整数，例如:信息
action
则，编码为:1，3，20，9，15，14
五.矩阵及其运算的使用选密钥矩阵设信息矩阵为对信息矩阵进行改换（矩阵乘法），得密码矩阵情报检索模型假定数据库中包括n本书，而查找所用的要害词有m个要害词清单
假定咱们的数据库包富含以下的书名:
b1，使用线性代数
b2，初等线性代数
b3，初等线性代数及其使用
b4，线性代数及其使用
b5，线性代数及使用
b6，矩阵代数及使用
b7，矩阵理论查找的6个要害词构成的集:
初等，代数，矩阵，理论，线性，使用情报检索模型
书初等代数矩阵理论线性使用b1010011b2110010b3110011b4010011b5010011b6011001b7000101要害词对应的数据库矩阵为
假定输入的要害词是“使用，线性，代数”，则查找向量为:
查找成果可以标明为两者的乘积，所以
因为y1y3y4y53，阐明四本书b1,b3,b4，b5必定包括一切三个要害词。这四本书就被认为具有最高的匹配度，因而在查找的成果中把这几本书排在最前面。六、方阵的幂
假定a
是n
阶方阵,那么,aa
有意义,也有意义,因而有下述界说:1、界说ａ相乘称为
ａ的m
次幂，记为ａm,即
界说
设a
是n
阶方阵,m
是正整数,m
个2、运算规则设a为方阵,k,l为正整数,则阶方阵a
与b,一般来说(ab)k
akbk.又因矩阵乘法一般不满足交流律,所以关于两个
n
akal=ak+l,(ak)l=akl.例8
核算例91423四个城市间的单向航线情况如下图所示.可用矩阵标明为求从i市经一次中转抵达j市航线的条数=?1423b=(bij)=ａ2=21100111100002111234ijbij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.七、矩阵的转置
1、界说
界说
把矩阵a
的行换成同序数的列得到例如矩阵一个新矩阵,叫做a
的转置矩阵,记作at
或a′.2、运算规则设a，b，c，a1，a2，···
，ak
是矩阵，且(1)(at)t=a;(2)(b+c)t=bt+ct;(3)(ka)t=kat;(4)(ab)t=btat;则它们的行数与列数使相应的运算有界说，k
是数，例10
已知求(ab)t
.
解法1先乘积后转置所以因为
解法2先转置后乘积(ab)t
=btat例11
设a
为n×1矩阵,且ata=1,en
为n阶单位矩阵,b=en
-2aat,证明:b
为对称矩阵,且b2=en.
8、方阵的部队式
1、界说界说6
由n
阶方阵a
的元素所构成的部队式(各元素的方位不变),叫做方阵a
的部队式,记作|a|或deta.方阵与部队式是两个不一样的概念,n
阶方阵是n2
个数按必定方法排成的数表,而n
阶部队式则是这些数(也就是数表a)按必定的运算规则所断定的一个数.留心2、运算规则设a,b
为n
阶方阵,
为数,则有(1)|at|=|a|;(2)|a|=n|a|;(3)|ab|=|a||b|.例12
部队式|a|的各个元素的代数余子式aij
所构成的如下方阵称为方阵a
的伴随矩阵,试证aa=aa=|a|e.
九、共轭矩阵复数,记称为a
的共轭矩阵.
当
a=(aij)为复矩阵时,用标明aij
的共轭aij共轭矩阵有以下运算规则(设a,b
为复矩阵,
为复数,且运算都是可行的):