1、區mi *http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/2021 全国研讨生招生考试数学二真题及答案解析、选择题k1当x 0时，若x tanx与x是同阶无量小，则ka.1.b.2.c.3.d.4.2.y xsinx 2cosx(0 x2 )的拐点c.,23下列异常积分收敛的是()6.已知f (x)g (x)是二阶可导且在x a处接连， 请问limf(x)g2x)0的啥条件？x a(x a)a.充分非必要条件b.充分必要条件c.必要非充分条件d.既非充分又非必要条件7.设a是四阶矩阵，a*是a的伴随矩阵，若线性方程组ax 0的基础解系中只需 2 个向量,b.0,2d.xexd
2、xb.xexdxc.0arcta nx , dx1 x2d.4.已知 y的值为()a.1,0,1ay byb.1,0,25.已分区域da.i3c.i2dsin、-x2y2dxdy，i1i1cex的通解为c.2,1,3(x,y) | xb.i1d.i2(c1c2x)e-xd.2,1,4i11 cos x2y2)dxdy，试比照i1ex,则 a.b.c2 2d斗x y dxdy，i1.i2.i3的巨细f (x)g(x)相切于a且曲率相等是b启丽龙图feta * kiutnmi fa*http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/则a*的秩是b启丽龙图feta * kiutnmi
3、fa*http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/a.0b.1c.2d.3、填空题9.lim( xx22xf10.曲线xtsint在t3对应点处切线在 y 轴上的截距为y1 cost2的标准形为22 2 222a.y1y2y3b.y1y2y32222 2 2c.y1y2y3d.y1y2y38设a是 3 阶实对称矩阵,13.已知函数f(x)xxtsin ttdt, 则10f(x)dx11 002 11114.已知矩阵a32 21,a标明a中(i, j)元的代数余子式，则003 4x 6)的弧长为a1a12e是 3 阶单位矩阵，若a2a 2e，且a 4，则二次型xtax11.设
4、函数f (u)可导，z2yf ()，贝u 2zy xx yb启丽龙图feta * kiutnmi fa*http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/12.设函数y ln cosx(015.答复题: 1523 小题， 共 (本题满分94 分回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程已知函数16. (本题满分10 分)f(x)2xxxxe0，求f(x)并求 f(x)的极值10 分)3x求不定积分 -(x 1)2(x217.(本题满分 10 分)dx.1)x2y y(x)是微分方程yxy1e2满足条件y(1)的特解.2“ xhttp:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http
5、:/上 龙图(1)求y(x)21.(本题满分 11 分)1已知函数f (x, y)在0,1上具有二阶导数，且f (0) 0, f (1) 1, o f(x)dx 1，证明:(1)求x, y,(1)存在(0,1),使得f ()0；(2)存在(0,1), 使得iif ()2.22.(本题满分 11 分)111已知向量组(i)11,20,32,44a23101(n)11,22，33，若向量组a 31 a2a 3求a的取值，并将用1,2,3线,性标明.23.(本题满分 11 分)2212 10已知矩阵a2x2 与 b0 10类似(i)和向量组(n)等价,(2)设平面区域d(x,y)120y(x)，求
6、 d 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.18.(本题满分10 分)已知平面区域d满足2x,y | x4y，求x y2dxdy. y19.10 分)(本题满分n s 是 f(x)xe sinx的图像与x 轴所谓图形的面积，求sn，并求lim sn.nnn20. (本题满分 11 分)已知函数u(x,y)满足22u2x2223 39 0,求a,b的值，使得在变x y换u(x,y) v(x,y)eaxby下,上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.b启丽龙图艮mi *tap-http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/(2)求可逆矩阵p,使得p1ap b2021年全国硕士研
7、究生入学共同考试数学试题解析 (数学二)1.c2.c9.4e210.3 2211.z12.2|n 3213.1(cos1414.415.解:当x0时，当x0时，1)xx当3.dx2xxxe4.d5.a6.c7.a8.c2xln xeexx=0时，f 01(1)(2)2xln xe 2ln x2 =x2x2ln x 2.xxe1 x exlimx 0limx 0 x2x1limx 02xl nx.e 1limx 02x ln xxxe 11lim ex01.x2x2ln x1 x ex1.0,e10, fx单调递减,0, f x单调递加,-12e为极小值0,fx单调递加,k 龙图mi knfn
8、triihttp:/承载愿望 为来只为一次考上研18. 考研 http:/16.=2工+13(x _ l)2(x2+ z + 1)1迟2+迟 + 仗一ifx-l317.因而龙y(l)一 g 所以所求体积为=真j-erdj:0,e1x 0, fx单调递减,0 =1为极大值.(3)0, f x单调递减,-1,0 x 0, fx单调递加,e11为极小值.=in(龙 + 宓 + )- 2in a l| + cxo留心到http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/34d2 sinr si n-rdr134sin5d1 ;4sin d cosz0r242413“34d21 cos2
9、d cos-刁12cos24.cos d cos242443- 212021.解由分部积仆可知于足凶此= cok丁+ rin 3:) 2s=pe-jopin；r+十y*(ip-(2a；+iffl2hl)irg r(2k+2ue_tfiin y7 /sinj*(7j“虚三。丿十i何3c/a _x (-e-+2 -广-十 5 丿环 22=力fc_f+1)7r+lr=01十力*-000t01-r + -_-(2a+2h220.解:u x,y v x, y euxvsexix byax byaveuvax byeax bybveyy22uvax byvax by22ea exxx22uvax bybv
10、eax by22eb eyyyax by_vaxa exby12jb-yby2 ax bya veb2veax byb启丽加图ma *knwk*ihttp:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/带入得4a 30，解得3 4b 021.证明（1） si拉格明日中值定理可知，存在a （3,1）.使得啓血-q1 -0z /（i） – f-1t/（r）在03上具有二阶导数.由罗尔定理可知t存 在（61）,使得他）=0 记呦（0,1）为/（x）的最大值点,首要由fx）dc= 1可甸/（t0） 1 h尸（列）=（x在1 = xo处运用泰勒公或可刃h存在使得/m =/（珂）+尸血）仗一卸）+
11、7阳*广（二f（叱）+肚；舁严（0 别离令x = 0, l,咱们得到20=f（ = /（如十詈尸（qci e （0却茫1 = / （i） = /（x0） +（1jq）（皿“两式相加可知1-2心）今/伽+气疤气机寻+气泄“），其屮r仞）为r（o）和%）中的较小者.因而皿2厂旳血厂2二一氏）xy + （ 1工*）22对一2旳十1这儿1/2 2玮-2xo+ iv 1（）e （ou）.因而，存在rj （0,1）,使得f（耳v 2.22.解:眾mi * kntritrii cavrhttp:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/(2)a的特征值与对应的特征向量别离为1211=2，1=2；
12、2=1，2=1；3=2，3=20042所以存在r=1,2,3，使得r1ap112b的特征值与对应的特征向量别离为1 1 01=2，1=0；2=1，2=3；3=2，3= 0001111101(3)当a=1时，1,2,3,1,2,3011022.0002 20此时两个向量组不等价.23.(1)a与b类似，则tr(a) tr(b)，ab， 即x 4y 1” m x 3y，解得1 14x82yy 2此时两个向量组等价,1 111,2,3,1,2,31 024 4a2+31 1 11010 1 102200a21 a 11 aa21(1)当a210，即a1时，r1,必定等价，且3=1 2+3.(2)当a=1时，1,2,3,1,2,31011232a 3 1 a a +32,33,r1,2,33，此时两个向量组111101011022000000k 22+k33= 2k 31http:/承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/2所以存在p2=1,2,3，使得p21ap212眾mi * kntritrii cavrhttp:/
承载愿望 为来只为一次考上研 考研 http:/所以f21af21 111二p ar，即b p2r arp2p ap111其间prp21212.004